ঋণাত্মক সংখ্যার ফেক্টোরিয়াল

ঋণাত্মক সংখ্যার ফেক্টোরিয়াল

আমরা জানি নিম্নোক্ত ভাবে কোনো ধণাত্বক পূর্ণ সংখ্যার ফেক্টোরিয়াল নির্নয় করা যায়ঃ

0! = 1
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
……………………………………..
……………………………………………
n! = n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ………. 4 × 3 × 2 × 1

এখন ঋণাত্মক সংখ্যার ফেক্টোরিয়াল কিভাবে নির্নয় করবে ?

মনে করো -1 অথবা -2 এর ফেক্টোরিয়াল কি বের করা সম্ভব ? সম্ভব হলে, কিভাবে নির্ণয় করা যায় !

-1 এর ফেক্টোরিয়াল নির্ণয়ঃআমরা জানি,

n! = n × (n-1)!

(n-1)! = n! / n

n = 0 বসিয়ে পাই,

(-1)! = 0! / 0

(-1)! = 1 / 0 [ যেহেতু, 0! = 1 ]

∴ (-1)! = + ∞ [ Positive Infinity ]

-2 এর ফেক্টোরিয়াল নির্ণয়ঃআমরা জানি,

n! = n × (n-1) × (n-2)!

(n-2)! = n! / (n × (n-1))

n = 0 বসিয়ে পাই,

(-2)! = 0! / (0× (-1))

(-2)! = 1 / (0× (-1)) [ যেহেতু, 0! = 1 ]

∴ (-2)! = – ∞ [ Negative Infinity ]

বৈদ্যুতিক মোটর থেকে বিদ্যুত উৎপাদন

বৈদ্যুতিক মোটর থেকে বিদ্যুত উৎপাদন

১৮২০ সালে ওরস্টেড (Oersted) তড়িৎ শক্তি দিয়ে চুম্বক শক্তি তৈরি করে দেখান। এর কয়েক বছর ইংরেজ বিজ্ঞানী মাইকেল ফ্যারাডে চিন্তা করলেন, যদি বিদ্যুৎশক্তি চুম্বকবলের সৃষ্টি করতে পারে, তাহলে চৌম্বক বলেরও বিদ্যুৎশক্তি উৎপাদন করার ক্ষমতা আছে। তিনি এটা ১৮৩১ সালে পরীক্ষার মাধ্যমে প্রমাণ করে দেখালেন।

মোটর এর মাঝে স্থায়ী ভাবে চুম্বক বসানো থাকে, এর মাঝে থাকে পেচানো কয়েল। যখন পেঁচানো কয়েল এর মাঝে বিদ্যুত চালোনা করা হয় এখন কয়েলের মাঝে চুম্বক ক্ষেত্র তৈরি হয়। মোটর এর মাঝে বসানো চুম্বক এর কারনে ঐ কয়েল এবং বসানো চুম্বক এর মাঝে বিপরীত পোল এর সৃষ্টি হয় এবং কয়েল ঘুরতে থাকে।

এখন ঠিক বিপরীত কাজ করলে, অর্থাৎ স্থায়ী চুম্বক এর মাঝে যদি কয়েলকে অনেক গতিতে ঘুরানো যায় তবে কয়েল এর মাঝে বিদ্যুত উৎপন্ন হবে। বৈদ্যুতিক মোটর থেকে কিভাবে বিদ্যুত উৎপাদন করা যায় তা ভিডিও তে দেখে নাও।

গনিত নিয়ে একটি মজার খেলা ( পর্ব ০১ )

গনিত নিয়ে একটি মজার খেলা ( পর্ব ০১ )

আসুন দেখা যাকঃ
:যেকোন একটি সংখ্যা নিন:: নিলাম ৬

:এবার ওই সংখ্যাটিকে নয়বার লিখুন

: লিখলাম নয়বার ৬৬৬৬৬৬৬৬৬

:এবার এই নয়টি সংখ্যা যোগ করুন

:করলাম যোগ ৬+৬+৬+৬+৬+৬+৬+৬+৬=৫৪

:এবার যোগফল দিয়ে আগের সংখ্যাটিকে ভাগ করি: ৬৬৬৬৬৬৬৬৬/৫৪=১২৩৪৫৬৭৯

এভাবে যেকোন সংখ্যা নিয়ে যোগ করে ভাগ করলে সবসময ১২৩৪৫৬৭৯ হবে

কি মজার নাহ ??? একইভাবে যেকোন সংখ্যাকে তিনবার লিখে তারপর তা যোগ করে আগের সংখ্যা থেকে ভাগ করলে উত্তর সবসময় ৩৭ হবে । চেষ্টা করে দেখতে পারেন ।
বিঃদ্রঃ ৮ এর জন্য ইহা প্রযজ্য নয়। কেনো তা একটু চিন্তা করো …… 🙂

পানির পৃষ্ঠটান ব্যবহার করে স্পিড বোট তৈরি করা

পানির পৃষ্ঠটান কি ?? কেউ কি জানি!
তরলের মুক্তপৃষ্ঠের স্পর্শক বরাবর পৃষ্ঠটান কাজ করে। স্বাভাবিক অবস্থায় একপাশ থেকে আরেকপাশ। কিন্তু যখন কোন কঠিন বস্তুর সংস্পর্শে আসবে তখন স্পর্শকোণ তৈরী হবে, তখন কিছুটা তরলের ভেতরের দিকে (পানি-কাচ) অথবা বাইরের দিকে (পারদ-কাচ) হবে। আণবিক তত্ত্ব অনুযায়ী পৃষ্ঠের অণু গুলোর বিভব শক্তি বেশি, ফলে তারা নিম্ন বিভব অর্জনের জন্য ক্ষেত্রফল সংকোচন করতে চায়, এর ফলে মুক্তপৃষ্ঠে পৃষ্ঠটান তৈরী হয়। পৃষ্ঠটান নিয়ে বিস্তারিত এইচএসসি -র পদার্থ বিজ্ঞান বইয়ে আলোচনা করা আছে।

যাই হোক আমরা পানির এই পৃষ্ঠটান ব্যবহার করে স্পিড বোট তৈরি করবো। এখানে পৃষ্ঠটান পানির একপাশ থেকে আরেকপাশ ক্রিয়া করবে। তবে চলো ভিডিওটা দেখে ফেলি কিভাবে স্পিড বোট তৈরি করা যায়।

তোমাদের যা যা লাগবে,
ক) আর্ট পেপার
খ) পানির বোল
গ) স্কেল ও পেন্সিল
ঘ) মোবিল বা অন্য যেকোনো তেল, সরিষা, নারিকেল, কেরোসিন ইত্যাদি
ঙ) এবং পানি

বৈদ্যুতিক মোটর (ভিডিও)

মোটর কি?

মোটর কিভাবে কাজ করে?

মোটর হলো এমন একটা যন্ত্র, যেটা বিদ্যুৎ শক্তি থেকে যান্ত্রিক শক্তি তৈরি করে। তোমার মাথার উপর যে ফ্যানটা ঘুরছে, সেটাতে একটা মোটর লাগানো আছে। সেটা বিদ্যুৎ শক্তি থেকে এর পাখাগুলো ঘোরাবার শক্তি তৈরি করছে। তোমার ব্যাটারী চালিত খেলনা গাড়িতেও মোটর লাগানো আছে। সেটা ব্যাটারী থেকে বিদ্যুৎ শক্তি নিয়ে গাড়ির চাকাকে ঘোরায়।

আজ তোমাদের একটা ভিডিও দেখাবো, সেখানে তোমরা দেখতে পাবে কিভাবে খুব সহজে একটা ছোট মোটর বানানো যায়। চলো ভিডিওটা দেখিঃ-

 

সৃজনশীল ০১ কাজ,শক্তি,ক্ষমতা

40 kg ভররে একটি ট্রলি 180J গতিশক্তিসহ 20kg একটি মসৃণ রাস্তায় চলছিল । চলার আধা ঘণ্টা পর ের উপর 20kg ভরের একটি বস্তু খাড়াভাবে নামিয়ে দেওয়া হল । Keep reading →

তৃতীয় অধ্যায়ঃ গতির সমীকরণ (চল চিন্তাকরি-১)

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র তৃতীয় অধ্যায়ঃ গতির সমীকরণ (চল চিন্তাকরি-১)
চিন্তামূলক প্রশ্নঃ

যুদ্ধক্ষেত্রে রাজেন্দ্রপুর ক্যান্ট এর একজন আর্টিলারি অফিসার 400 মি/সে বেগে গোলা নিক্ষেপকারী কামান থেকে ঠিক 6 কিমি দূরে শত্রু অবস্থানে গোলা নিক্ষেপের পরিকল্পনা করলেন।
তিনি চাচ্ছিলেন যে, গোলাগুলো নীচু দিয়ে উড়ে গিয়ে শত্রু অবস্থানে আঘাত হানুক। কিন্তু, 3 কিমি দূরে থাকা 300 মি উচু পাহাড় এতে বাধা হয়ে দাঁড়াল। কাজেই তিনি পরিকল্পনা পরিবর্তন করলেন। এবং তাতে ১০০% সফল হলেন।
প্রশ্নটা হল তিনি কিভাবে এ সফলতা লাভ করলেন? তার পরিকল্পনাটা কিভাবে তিনি পরিবর্তন করেছিলেন?

 

সমাধানঃ

অফিসারের প্রথম পরিকল্পনা : প্রথমে দেখা যাক তিনি কি সমস্যায় পড়েছিলেন আর কেন পড়েছিলেন…
আনুভূমিক পাল্লা, R = (V²sin2θ)/g ; where, V = আদিবেগ,  θ = নিক্ষেপ কোণ
বা, θ = sin-¹(Rg/V²)
বা, θ = 10.78º  (approximate)

যেহেতু, পাল্লা 6 কিমি, সুতরাং 3 কিমি(অর্ধপথ) যাবার পর গোলা সর্বচ্চ উচ্চতায় থাকবে। 3 কিমি দূরে গোলার (সর্বোচ্চ) উচ্চতা,

Hmax = (Vsinθ)²/2g = 285.578 m
যেহেতু, H < 300m । তাই, যদি তিনি এভাবে গোলা ছুড়ে দিতেন তাহলে 3 কিমি দূরের 300 মি উচু দেয়ালে গোলাগুলো বাঁধা পড়ত ।

আর, এজন্যই তিনি নীচু দিয়ে গোলাগুলো উড়ে যাবার পরিকল্পনা পরিবর্তন করতে বাধ্য হয়েছিলেন।

এবার আসা যাক পরবর্তী পরিকল্পনায় :

* যেহেতু প্রশ্ন অনুযায়ী অফিসার ১০০ % সফল হয়েছিলেন নিচু দিয়ে গোলা নিক্ষেপ করায় দেয়াল বাঁধা হয়েছিল সেহেতু তিনি এমন “উচু” দিয়ে লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করেছিলেন যাতে তা “ঠিক 6 কিমি” দূরে গিয়েই লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করেছিল।

তাই, এখন আমরা যদি উচু দিয়ে আর কোনো নিক্ষেপ কোণ পাই যার জন্য ঠিক 6 কিমি দূরেই যায় গোলা গুলো এবং 3 কিমি দুরের সেই দেয়ালটি বাঁধা হয়না তাহলে সেই নিক্ষেপ কোণটিই হবে পরবর্তী পরিকল্পনা। আর যদি উচু দিয়ে নিক্ষেপ করার সেই কোণ না পাই বা সেই উচু দিয়ে নিক্ষিপ্ত কোণের কারণেও যদি দেয়াল বাঁধা হয়ে দাঁড়ায় তাহলে – “ অবশ্যই তিনি বিফল হয়েছিলেন ”

চল দেখা যাক আগে সেই কোণটা পাই কিনা…

আমরা জানি, sinx = sin(180-x)
সুতরাং, sin 2θ= sin(180- 2θ) ;

অর্থাৎ, R = (V²sin2θ)/g  ইকুয়েশনে 2θ এর স্থলে (180- 2θ) বসিয়েও ঠিক একই পাল্লা পাওয়া যাবে।

তাই আমরা লিখতে পারি,
R = (V²sin2θ)/g = {V²sin(180- 2θ) }/g  = [V²sin{2(90- θ) }]/g

সুতরাং, θ এর পরিবর্তে (90- θ)  কে আমরা পাল্লার ইকুয়েশন, R = (V²sin2θ)/g তে বসাতে পারি।
অর্থাৎ (90- θ) কোণই হবে অপর নিক্ষেপ কোণ যার জন্য ঠিক একই পাল্লা পাওয়া যাবে।

# অপর নিক্ষেপ কোণ = (90- θ) = 90-10.78=79.22º ।

~ নিক্ষেপ কোণ তো পেলাম। এবার বাকি রইল শুধু এই নিক্ষেপ কোণের জন্য “দেয়ালের বাঁধা টুকু পরিক্ষা করা”। সেটা করে ফেলা যাক…

পরের নিক্ষেপ কোনের ক্ষেত্রে 3 কিমি দুরে গোলাগুলোর উচ্চতা,
Hmax= [{400×sin(90-10.78)}^2]/ (2×9.8)

বা, Hmax =7877.68 m যা 300 মি এর থেকে বেশি।
সুতরাং তার পরবর্তী পরিকল্পনা ছিল গোলাগুলো  (90- θ) = 90-10.78=79.22 deg কোণে নিক্ষেপ করা এবং যাতে তিনি সফল হয়েছিলেন ।

Want victory in your war !!! learn Physics.

এই লেখার উদ্দেশ্য হল একই আনুভূমিক পাল্লার জন্য প্রাসের ক্ষেত্রে দুইটি নিক্ষেপ কোণ থাকে – এই বিষয়টা অনুধাবন করা। নিচের চিত্রটি লক্ষ করঃ

projectile

এবার একটু ঝটপট চিন্তা করে ফেলুন যে এমন কি কোনো ক্ষেত্র আছে কিনা যাতে আমরা একই আনুভূমিক পাল্লার জন্য দুইটা নয় বরং একটা নিক্ষেপ কোণ পাব আর এমন কোনো ক্ষেত্র আছে কিনা যেখানে আমরা দুইটা নয় বরং আরও বেশি সংখ্যক নিক্ষেপ কোণ পাব ? আর, কেনই বা পাল্লার ইকুয়েশন থেকে আমরা একটি নিক্ষেপ কোণ পাই ?

২য় অধ্যায়ঃ গুনগত রসায়ন (অবস্থান্তর মৌল)

অবস্থান্তর মৌলঃ যে সকল d-ব্লক মৌলে স্থীতিশীল আয়নের ইলেক্ট্রন বিন্যাসে বহিস্থ d-Orbital ইলেক্ট্রন দ্বারা অপূর্ণ বা আংশিক পূর্ণ থাকে তাদেরকে অবস্থান্তর মৌল বলে। Keep reading →

বৃত্তের সকল সূত্র সমূহ ( পর্ব-০১)

বৃত্ত হচ্ছে এমন কোন বিন্দুর সঞ্চার পথ যা কোন একটি বিন্দু বা অক্ষ থেকে সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে। বৃত্তের সকল সূত্র সমূহ নিম্নে দেয়া হলোঃ  Keep reading →

ষষ্ঠ অধ্যায়: মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ

নৈব্যর্তিক:ষষ্ঠ অধ্যায়: মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ

If the Earth stops rotating, the value of g at the equator will-
[পৃথিবীর ঘূর্ণন থেমে গেলে বিষুব অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরন এর মান – ]

Keep reading →

সৃজনশীল ০১, গতির সমীকরণ

সৃজনশীল ০১, গতির সমীকরণ :
একটি মিনারের উপর হতে ভরের একটি বস্তুকে নিচের দিকে ফেলে দেওয়া হল । দেখা গেলো, বস্তুটি ভূমি স্পর্শ করার পূর্ববর্তী সেকেন্ডে দূরত্ব অতিক্রম করল । Keep reading →

নৈর্ব্যত্তিক ০১, প্রথম অধ্যায় ভেক্টর

নৈর্ব্যত্তিক ০১ ভেক্টর

যদি A = 3i ̂ +4j ̂ এবং B = 7i ̂ +24j ̂ । C ভেক্টর-এর মান B এর সমান এবং A ও C সমরেখ ভেক্টরের।C ভেক্টরটি কত হবে ? Keep reading →

সৃজনশীল ০১, নিউটনের গতিসূত্র

একজন শিকারি একটি বালিহাঁসকে লক্ষ করে তার 4kg ভরের বন্দুক হতে 20 gm ভরের একটি গুলি ছুড়ল গুলিটি 300 m/s বেগে নল হতে বেরিয়ে গেল । গুলি বের হওয়ার সময় শিকারি পেছনদিকে ধাক্কা অনুভব করল । Keep reading →

কুইজ ১: পদার্থ ১ম পত্র, ৩য় অধ্যায়: গতির সমীকরণ

আজকের কুইজের শেষ সময় ৮টা ৩০ মিনিট, যারা ১ম,২য়,৩য় হবে তাদের নিয়ে “ইচ্ছে কোড – অনলাইন ম্যাগাজিন (www.magazine.icchecode.com)” এ ফিচার থাকবে।

Keep reading →

নৈর্ব্যত্তিক ০২ কাজ,শক্তি,ক্ষমতা

কোন বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে এর মোট শক্তি-
[An object is thrown vertically upwards. As it rises its total energy:- ]

Keep reading →